Graphes et matrices - Expert
Suites de matrices
Exercice 1 : Suites de matrices
On considère deux suites \( x_n \) et \( y_n \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= \dfrac{3}{2}x_n + \dfrac{3}{4}y_n \\ y_{n+1} &= \dfrac{3}{5}x_n - \dfrac{3}{2}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_{2} = -4/3 \text{ et } y_{2} = 3/4 \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]
Determiner la matrice \( A \).On écrira une matrice de 0 si la matrice n'est pas inversible
On écrira \( A^{-k} \) si on veut écrire \( (A^{k})^{-1} \) ou \( {\left( A^{-1} \right)}^{k} \).
On donnera la réponse exacte, sous la forme \( \left( x_{0}; y_{0} \right) \).
On donnera la valeur exacte de \( x_{4} \), sous la forme d'un entier ou d'une fraction.
Exercice 2 : Problème (Bac 2013)
Chaque année, 5 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 10 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
On sait de plus qu’en 2018, 55 % de la population habitait en zone A. On suppose que le nombre total d’habitants de la région reste constant au cours du temps.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste correspondant à l’année 2018 + n est défini par la matrice ligne \(P_n = (a_n\: b_n) \), où \(a_n\) et \(b_n\) désignent respectivement les proportions d’habitants des zones A et B.
Déterminer la matrice ligne \(P_0\) de l’état initial.
Ecrire la matrice M de transition de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique.
On arrondira le résultat au pourcent près.
On arrondira le résultat au pourcent près.
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P = PM\).Que vaut \(a\) ?
Exercice 3 : Suites de matrices - 1
On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{3}{2}x_n + \dfrac{2}{3}y_n \\ y_{n+1} &= - \dfrac{1}{4}x_n -3y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = - \dfrac{1}{4} \text{ et } y_0 = \dfrac{4}{5} \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]
Déterminer la matrice \( A \).Exercice 4 : Suites de matrices
On considère deux suites \( x_n \) et \( y_n \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= \dfrac{4}{3}x_n - \dfrac{4}{5}y_n \\ y_{n+1} &= - \dfrac{5}{3}x_n - \dfrac{4}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_{2} = 5/3 \text{ et } y_{2} = -1/3 \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]
Determiner la matrice \( A \).On écrira une matrice de 0 si la matrice n'est pas inversible
On écrira \( A^{-k} \) si on veut écrire \( (A^{k})^{-1} \) ou \( {\left( A^{-1} \right)}^{k} \).
On donnera la réponse exacte, sous la forme \( \left( x_{0}; y_{0} \right) \).
On donnera la valeur exacte de \( x_{3} \), sous la forme d'un entier ou d'une fraction.
Exercice 5 : Problème (Bac 2013)
Chaque année, 5 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 20 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
On sait de plus qu’en 2018, 55 % de la population habitait en zone A. On suppose que le nombre total d’habitants de la région reste constant au cours du temps.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste correspondant à l’année 2018 + n est défini par la matrice ligne \(P_n = (a_n\: b_n) \), où \(a_n\) et \(b_n\) désignent respectivement les proportions d’habitants des zones A et B.
Déterminer la matrice ligne \(P_0\) de l’état initial.
Ecrire la matrice M de transition de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique.
On arrondira le résultat au pourcent près.
On arrondira le résultat au pourcent près.
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P = PM\).Que vaut \(a\) ?